چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟

چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟

چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟

جورج پولیا درسال 1995 توجه تمامی دست اندرکاران آموزش یادگیری را به چارچوبی که برای حل مساله ریاضی ارایه داده بود جلب کرد. مدل جورج پولیا برای حل مسایل ریاضی شامل چهار مرحله زیر است:

1) فهمیدن و درک مساله

2) تهیه طرحی برای حل مساله

3) اجرای طرح

4) بازنگری.

کسانی که مشغول حل مساله هستند می توانند مهارتهای فردی و استراتژیهای مناسب را در قالب این چارچوب فرا گیرند و دانش خود را توسعه دهند. البته باید توجه داشت که تمام اجزای این چارچوب در حال تعامل دایم با هم هستند. مثلأ ممکن است کسی در مرحله سوم متوجه شود که طرحی که تهیه کرده به نتیجه نخواهد رسید، یا موانعی در راه اجرای آن است. در نتیجه به مرحله اول و دوم بازگشته و با درک جدیدی که از مساله پیدا می کند، طرحی نو می ریزد و آن را به اجرا می گذارد. نکاتی چند برای هر کدام از مراحل چهارگانه بالا متذکر می شویم...

1) فهمیدن مساله:

در این مرحله، برای کسی که قصد حل مساله ای را دارد، باید پیش از هر چیز روشن شود که مساله از نوع "ثابت کردنی" است یا "پیدا کردنی". سپس فرد تشخیص دهد که اجزای مساله از جمله داده ها و مجهولات کدام ها هستند. در جهت دستیابی به این مهم نکات زیر را می توان در نظر گرفت:

v خواندن مساله به کرات

v مراجعه به منابع دیگر برای روشن ساختن معنی لغات و عبارات کلیدی

v بیان مساله با عبارات آشناتر

v رسم شکل

v مدلسازی مناسب با موقعیت مساله

v ارزیابی داده های مساله از جهت کافی بودن

v تعیین فرضیه های پنهان مساله اما مفید برای حل مساله.

2) تهیه طرحی مناسب برای حل مساله:

هنگامی که مساله خوب فهمیده درک شد ،میتوان برای آن طرحی مناسب تهیه کرد.با توجه به این مساله ممکن است از راههای مختلفی قابل حل باشد ،باید در مورد استراتژی هایی که مناسب تر به نظر میرسند ،کمک گرفت .به هر حال کسی که می خواهد مساله حل کن خوبی باشد ،باید توانایی تجدید نظر در طرح را –در صورت عدم کارایی استراتژی های اولیه خود –داشته باشد. چند نمونه از استراتژی هایی که ممکن است در طول حل مساله مورد استفاده واقع شوند ،از این قرارند،

v تهیه مدل،یعنی رسم الگوی مشابه یا رسم منحنی متناسب با موقعیت مساله؛

v تهیه جدول نظامدار،و منحنی های سازمان یافته؛

v الگویابی؛

v کار کردن بر عکس؛

v انتخاب نمادهای مناسب؛

v مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده؛

v نوشتن یک معادله با یک فرمول؛

v تقسیم مساله به زیرمساله های مختلف و حل هر کدام از آنها؛

v استفاده از استدلال استنتاجی؛

v کنترل فرضیه های مستتر در صورت مساله ؛

v حدس یک جواب و آزمایش آ ن ؛

v حل مساله ساده ترو مرتبط با مساله داده شده؛

3)اجرای طرح:

بعد از آن که طرح مناسب برای حل مساله تهیه شد ؛ باید آن را مورد اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که طرح ممکن است او را به حل مساله رهنمون نکند ، بتوان طرح جدیدی را تهیه و به اجرا بگذارد .

شخص درگیر حل مساله ،در حالی که ناظر بر پیشرفت طرح است ،می تواند سوال هایی مانند سوال های زیر را از خود بپرسد:

v آیا طرحی که تهیه کرده ام ،مرا به حل مساله هدایت میکند؟

v آیا به طرح بدیلی نیاز دارم ؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه نمایم؟

v آیا برای اجرای طرح خود ،به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیاز دارم؟

v آیا دقت و تلاشم را برای ردیابی مراحل پیشرفت خود در حل مساله،مستند کرده ام؟

4)بازنگری:

پس از اتمام مرحله اجرا ،حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل اجرای طرح تهیه شده، داشته باشد و یک بررسی کلی در مورد مساله انجام دهد.

از جمله موردهای مهمی که در این مرحله باید در نظر گرفت ،یکی معنی دار بودن جواب مساله با توجه به سوال های طرح شده،و دیگری تعمیم پذیری مساله است.هم چنین ،شخص با بازنگری کلی می تواند کاربرد وسیع تراستراتژی های به کار گرفته شده را شناسایی کرده و راه حل های متفاوت حل مساله را مطالعه کند.

مراحل حل مساله باید به نحوی تدوین شوند تا هم حل مساله برای دیگران مشخص شود ،وهم این که شخص حل کننده مساله بتواند از طریق حل مساله با دیگران ارتباط برقرار کرده واز فرایند و نتیجه های حل مساله خود دفاع نماید . در این مرحله ،شخص حل کننده مساله میتواند سوال هایی مشابه نمونه های زیر را از خود بپرسد و سعی در یافتن جواب برای آن ها داشته باشد:

v آیا جواب من به اندازه کافی مستدل است؟

v در جریان حل مساله ،چه چیزی یاد گرفتم که قبلاً نمیدانستم؟

v چه نکاتی در این مساله هست که من میتوانم در مسایل دیگر نیز ،آن ها را تشخیص دهم؟

v آیا میتوانم مساله های مرتبط با این مساله حل شده را مطرح کرده و حل کنم؟

v آیا میتوانم حل مساله را برای دیگران توضیح داده ،مستند نموده یا تعمیم دهم؟

v آبا تمام راه حل های ممکن را یافته ام ؟ آیا مساله راه حل دیگری دارد؟

v آیا به جز استراتژی هایی که در اولین بررسی مرا به حل مساله رسانده اند استراتژی های دیگری را نیز امتحان کرده ام.

 خانم نوروزی خانم ابراهیم

عوامل موثر در عدم یادگیری ریاضی در دانش آموزان

علل اختلالات یادگیری در فهم ریاضی

برخی کودکان با اشکالات ویژه یادگیری،دشواری هایی در درک مسائل ریاضیات دارند.اصطلاحاتی که برای موارد شدید این حالت به کار می رود،دیس کالکولی یا اختلال در محاسبه و کسب مفاهیم ریاضی است.این گروه از کودکان معمولا در زمینه درک روابط فضایی دچار مشکل شدید هستند و در بررسی دشواری های ریاضی این گروه از کودکان باید به مشکلات درک بینایی و تفکر این کودکان توجه شود.

چگونگی ترمیم ناتوانی در ریاضیات ،ترسیم تقویت مهارت در به کار گیری روابط کلی است.این برنامه اغلب از آموزش اصول کمی مانند:ترتیب،اندازه،فضا و فاصله با استفاده از مواد قابل لمس و کلام شروع می شود ودر نهایت برای ایجاد و تقویت قوه استدلال و تفکر منطقی از معما ها و صفحات سوراخ دار که با فرو کردن میله های پلاستیکی در آنها می توان طرحایی مختلف را ایجاد کرد،سود برده شود. 

 در آموزش اندازه و ترتیب نیز برای کودکان می توان از آنها خواست که چهار دایره یا اشکال دیگر هندسی را با اندازه های مختلف از چپ به راست بر اساس از بزرگتر به کوچکتر ردیف کندو همچنین برای آموزش اصول کمی می توان از تکالیف دیگر در جهت پایایی ذهنی در زمینه عدد،مایع،ماده،وزن،و حجم به گونه ای که کودک در آنها تبحر یابد سود برد.

بی توجهی معلمان به موارد مطرح شده در تدریس ریاضی

۱-عدم توجه به مجزا بودن سه مرحله آموزش درس ریاضی(مفهوم،تکنیک وکاربرد) که در کتاب های ریاضی مراحک به تفکیک از هم جدا نشده اند.

۲-درک مفهوم در آموزش از اهمیت ویژه بر خوردار است و تا زمانی که دانش آموز به مفهوم یک موضوع پی نبرده باشد،آموزش تکنیک سودی ندارد.

۳-عدم توجه در به کار گیری روش فعال

۴-ناشناخته ماندن قلمرو و اهداف ریاضی وزبان ریاضی

۵-آشنا نبودن برخی از معلمان با روش های جدید تدریس

۶-تخصصی نبودن معلمان ریاضی

۷-بی توجهی معلمان به طرح درس

۸-فقدان ارزش یابی کار معلمان ریاضی

۹بی توجهی به علایق،انگیزه ها وتوانایی دانش آموزان

پیشنهادات وراه حل ها

آموزش موثر و عوامل ویژه ریاضی

-آموزش مستقیم یکی از موثر ترین راهبردهای تدریس است که در آن معلم به صورت فعال مطالب و محتوای درس را به دانش آموزان ارائه می کند.به واسطه ی پژوهش ها مشاهده کلاس درس پژوهش های مربوطه به رابطه ی بین رفتار های معلم و پیشرفت دانش آموزان در آزمون های استاندارد شده به وجود آمد وتوسعه یافت.

در مطالعات مختلف در تعدادی از کشورها چند عامل مشترک پیدا شد،که یکی از این عوامل این بود که تدریس فعال برای کل کلاس موثرتر از این است که به خود دانش آموزاجازه داده شود تا بیشترین مقدار از وقت درس را به طور مستقل کار کند.در قسمت مربوط به تدریس برای کل کلاس تعدادی از رفتارها کار آمد و موثر شناخته شده اند.

ابتدا لازم است که ساختار درس به عنوان یک کل یا تشریح اهداف درس تاکیدبرنکات کلیدی و خلاصه سازی نکات اصلی درپایان به خوبی مشخص شود.آموزش مطالب درسی باید گام به گام صورت گیرد تا پیش از تدریس موضوع جدید مطالب قبلی به خوبی اموخته شده باشند.معلم ها باید بر نکات اصلی تاکیدکنند نه مطالب حاشیه ای،،هر یک از این گام ها باید کاملا ساختار و روشن باشند.

-مورد دیگر تعامل بین معلم ودانش آموزکه یکی از مهم ترین جنبه های آموزش مستقیم است.می توان از پرسشگری برای بررسی فهم مطلب توسط دانش آموز(داربست سازی)برای یادگیری آنهاکمک به دانش آموز برای تصریح تفکر،بیان اندیشه وگسترش مهارت استفاده کرد.پرسشگری اثر بخش یکی از جنبه های تدریس است که به صورت بسیار گسترده مطالعه شده وبنابراین مجموعه معلومات یکپارچه ای درباره کارامدترین راهبرد های پرسشگری وجود دارد.معلمان بایدسوال های سطح پایین وسطح بالا،سول های فرآیندی ونتیجه ای وسوال های بازوبسته را با یکدیگرترکیب کنند.

-وقتی یک دانش آموز به قسمتی از سوال پاسخ درست می دهد،معلم باید قبل از رفتن به سراغ دانش آموز بعدی اورا در یافتن بقیه ی سوال راهنمایی کند.وقتی دانش آموز به سوالی پاسخ نادرست می دهد معلم باید به سرعت اشاره کند که اشتباه بودواگر پاسخ به دلیل بی اطلاعی وعدم آگاهی ،نادرست باشدمعلم باید دانش آموز رابرای یافتن پاسخ صحیح راهنمایی کند.

  -مورد دیگر بحث کلاسی است،معلم موضوع و رهنمود رابه دانش آموز ارائه می کند.معلم در جریان بحث دانش آموز نکات اصلی را یاداشت می کند. بعدنتیجه بحث را خلاصه و درباره فرایند بحث از دانش آموز نظر خواهی می کند.

-راهبرد دیگر مرور و تمرین است.تمرین انفرادی در تقویت پرورش خودکاری ویکپارچه سازی اهمیت دارد.تمرین کلاسی بایدبه خوبی تدارک دیده شودو ارتباط شاخص با اهداف و مقاصد درس داشته باشدکه به صورت تمرین در کتاب یا کار برگ ها خواهد بود.

-معلم باید در جریان تمرین کلاس بر کل کلاس نظارت داشته باشدتا مطمئن شود که همه مشغول انجام تکلیف هستند.فعالیت دسته جمعی در گروه های کوچک به تمرین کلاسی افزوده شود.این روش برای کسب مهارت های سطح بالای حل مساله مناسب است.

-شیوه ی تدریس نظام مند به خوبی با ماهیت نظام مند دانش ریاضی مطابقت می کند و توجه به ان به تسلط بر مقدار کمی از مطالب قبل از وارد شدن به مرحله بعد می توان ترس از ریاضی و احساس ناتوانی را خنثی کند.این روش با ماهیت سلسله مراتبی این ماده درسی نیز مطابقت دارد.

 جمع آوری توسط آموزگاران پایه پنجم:سرکار خانم ابراهیم وسرکار خانم نوروزی

به نام خالق هستی

عنوان برگ:طراحی آزمون عملکردی (تلفیقی)

نام ونام خانوادگی دانش آموز :                           تاریخ:                                               پایه پنجم

شیوه ی اجرا       فردی        گروهی               موضوع :ریاضی وبنویسیم             مدت زمان:10دقیقه

 

هدف کلی :مهارت تشخیص حروف یا کلمات ربط وبه دست آوردن در صد برای پاسخ به مسائل ریاضی

 

وسایل مورد نیاز:مداد وپاک کن

شرح فعالیت :

1-جمله های زیر را بادقت بخوان سپس حروف ربط را مشخص کن وبنویس

2-چند درصد از کلمات این متن از حروف ربط است؟

گل لاله که نشانه ی خون سرخ وپاک شهیدان گلگون کفن کشورمان است وما باید همیشه خاطره ی شهیدان عزیز میهن را زنده نگاه داریم .

 

 

درجات		مقیاس درجه بندی
2	1	نشانه هاوانتظارات
		حروف ربط را درست مشخص کرده است ونوشته است
		حروف ربط را درست در جدول تناسب قرار داده است
		مجموع حروف ربط را در جای مناسب از جدول نوشته است
		توانسته است مقدار درصداز حروف ربط جمله ها را به دست آورد
باز خورد معلم

ارائه روش نوین جهت آموزش ریاضیات در دوره ابتدایی

ارائه روش نوین جهت آموزش ریاضیات در دوره ابتدایی

ب)روش کشفی یا روش فعال :

مهمترین روشی که برای تعلیم مفاهیم و روابط ریاضی در دبستان پیشنهاد شده وامروزه در دنیا رواج فراوان دارد ، روش فعال یا روش کاووشگری نیز نامیده می شود .در این روش استفاده از احساسات و ادراکات بچه ها برای رسیدن به مفاهیم وروابط مورد تدریس نقش اساسی دارد.دراین روش نقش معلم را می توان چنین خلاصه کرد که دانش آموز(متعلم)را درمقابل صحنه ها یا در موقعیت هایی قرار میدهد که کیفیت وقایع ومشاهده عوامل موجود در آنها ،وجود مفاهیم وروابط معین را به او القا می کند .شکی نیست که  ارائه این موقعیت باید متناسب بازندگی اطراف بچه ها بوده ودر این رابطه نقش وسایل کمک آموزشی حائز اهمیت می باشد .اهمیت این روش بر سایر روش ها را می توان در گفتار کوتاه وقدیمی زیر چنین خلاصه نمود:

من می شنوم وفراموش میکنم ،

من می بینم وبه خاطر می آورم ،

من عمل می کنم ومی فهمم.

اصول یادگیری وروش فعال

مطلوبترین روش تدریس ،روش فعال می باشد که بر پایه اصول یادگیری پایه گذاری شده است .در این روش وضعیت کلاسی را که مورد نظر است می توان در سه اصل یادگیری ذیل که بهتر است آن هارا سه اصل آموزش نیز به نامیم خلاصه نمود:

۱-یادگیری فعال :بهترین یادگیری هر چیز کشف آن چیز به وسیله متعلم (یادگیرنده)است.این اصلی است که مبنای روش سقراطی بوده وبه اندازه خود یادگیری قدمت دارد.

۲-بهترین تحریک (انگیزه):برای آن که یادگیرنده موثر وفعال باشد متعلم باید در مواردی که به وی یاد داده می شودعلاقمند باشد در فعالیت یادگیری خوشنودی بیابد،واین در صورتی تحقق میابد که برای یادگیری انگیزه داشته باشد.یک دانش آموز تحریک شده وبا انگیزه خیلی سهل تر از کسی که تحریک نشده است مطالب را فرا می گیرد.تحریکات ممکن است شامل ،آرزوی یادگیری ،احتیاج به نقش داشتن،آرزوی داشتن یک مدرک بخصوص ویا پرهیز از تنبیه باشند.

البته یادگیری تحت تحریکات ذاتی بر یادگیری تحت تحریکات خارجی رجحان دارد.

۳-فازها یامراحل متوالی آموزش : یادگیری باعمل وخیال وگمان شروع می شود . سپس ازآنجا به کلمات و مفاهیم می انجامد ، وباید به صورت عادت ذهنی مورد نظر خاتمه یابد.به عبارت دیگر برای آنکه یادگیری موثر وفعال باشد ُلازم است که یک فاز کاوشگری مقدم بر فاز تشکیل عبارت ومفاهیم وجود داشته باشد ،سر انجام باید موادیاد داده شده به وضعیت سازی متعلم ورفتار وی سهمی ببخشند وبا این وضعیت یکی شوند

تدریس به روش فعلی

باتوجه به اصول فوق الذکر،در عمل معلمین با استفاده ازوسایل کمک آموزشی به طریق های مجسم ،نیمه مجسم ومجردوبه یاری فنون وهنرهای معمول مانند استفاده از داستانهای مناسب ونقاشیهای متناسب ،مقدماتی فراهم می کنند تامتعلم در طی آن به کشف مفاهیم وروابط مورد نظر نایل شود(مرحله کاوشگری).سپس با استفاده از سوال وجواب وبحث بین معلم وبچه هاویا خود بچه ها تشکیل عبارتمورد نظر انجام می گیرد.در مرحله آخر باتمرین های مکرروممارستهای عملی در مورد مفاهیم ومطالب با رفتار متعلم وحدت پیدا کند.

در اینجا ذکر این نکته ضروری است که در مراحل کاوشگری وتشکیل عبارات ومفاهیم،تعاون ومفاهیم گروهی بچه ها با یکدیگر نقش به سزایی دارد .چنانچه امکانات کلاس اجازه دهد باید معلمین سعی کنند که درضمن آموزش حس تعاون وهمکاری گروهی را در بچه ها تقویت کنندواز آن به عنوان عاملی در جهت آموزش ویادگیری صحیح استفاده نمایند.

مراحل یادگیری(آموزش)فعالرا به طور خلاصه می توان در چارت ذیل درج نمود:

کاوشگری متعلم.....تشکیل عبارات ومفاهیم .....تمرین ووحدت مفاهیم با شخصیت متعلم

ویژگی ها و راهکارهای حل مسایل کتاب ریاضی

معمولاً دانش آموزان در حل مسایل کتابهای درسی مشکلات عمده ای دارند.ازاین رولازم است راهکارهائی جهت حل مسائل کتاب «با داشتن ویژگی های مناسب» به شاگردان ارائه گردد.(۱۸ نکته کلیدی برای حل مسائل)

برخی از این راهکارها عبارتند از:

1. شاگردان را باید هدایت کرد که مساله را بفهمند.برای این منظور بخواهدکه متن مساله را به دقت بخوانند و با زبان خودشان توضیح دهندکه مساله چه می خواهد وچه می گوید.(فهمیدن)
2. از شاگردان بخواهید مشخص کنند که معلومات مساله چیست؟مجهول مسئله کدام است؟به عبارت دیگر معین کنند چه دارند و چه می خواهندو بعد راهی را که می توانند با استفاده از آن به حل مسئله اقدام کنند را حدس بزنند(انتخاب راهبرد حل مسئله)
3. توضیح دهید که نحوه ی خواندن مسئله برای حل آن بسیار مهم است.کسانی که نتوانند درست بخوانند٬ مسئله را نخواهند فهمید ودر نتیجه نخواهند توانست آن را حل کنند.
4. بخواهید که مسئله را عینی سازی کنند.بدین معنی که مثلأ گفته می شود علی ۲ سیب دارد٬ و مادرش به او ۳ سیب دیگر داد٬ حالا علی چند سیب دارد؟ در این مسئله فرد خودش و مادرش را در نظر بگیرد وتعداد سیب های داشته و گرفته را ملموس کند تا بهتر بتواند مسئله را درک کند.
5. بخواهید تا خودشان در رابطه با راه حلی که به ذهن خودشان می رسد٬ مسئله ای بسازد.مثلأ مسئله ای را بسازد که از راه جمع حل می گردد.این موضوع به دانش آموزان کمک خواهد کرد تامفاهیم را بهتر درک کنند و یاد گیری آنها تقویت گردد.
6. بخواهید که بعد از خواندن مسئله ٬پاسخ مسئله را حدس بزنند.این امر کمک میکند تا بیشتر به مسئله توجه کنند.
7. یاد آوری نمائید که این مسئله ممکن است چند راه حل داشته باشد٬ که می توانند از هر راه حل استفاده نمایند.
8. به دانش آموزان آموزش دهید که٬ هر علامت سوال درمتن مسئله ٬ یک جواب می خواهد.
9. برای تمرکز بیشتر  دانش آموزان به آنان آموزش دهید٬زیر اعداد به کار رفته در مسئله خط بکشند.
10. بخواهید که بعد از هر مسئله پاسخی را که به دست می آورند٬ با یک عبارت فارسی بنویسند که چیست.(جلو نویسی آنچه را که به دست آورده اند.)
11. اگر خودتان مسئله طرح می کنید سعی کنید که صورت مسئله روشن و بدور از ابهام باشدتا شاگردان آن را راحت بفهمند.
12. مسئله طرح شده باید با سطح اطلاعات و دانش شاگردان همخوانی داشته باشد.
13. تا آن جا که امکان دارد٬ سعی کنید مسئله ای طرح کنید که صورت مسئله جنبه ی شهودی و تجربی داشته باشد.
14.  مسئله ای که برای شاگردان طرح می کنید سعی کنید٬ برای آنها لذت بخش باشد.مورد علاقه ی آنها باشد٬ و فرصتها را برای کشف ریاضی ایجاد کند و قادر باشند از راه حل های مختلف حل کنند.
15. به شاگردان اجازه دهید تا روشی را که خود پیشنهاد می دهند٬ جهت حل مسئله به کا ببرند.
16. از مدل واقعی و ملموس جهت مسئله استفاده کنید.(تا جائی که ممکن است برای آنها شکل کشیده شود) 
17. از اشکال٬ تابلو٬ نمودارها و نقشه های هندسی جهت درک بهتر مسئله استفاده کنید.
18. ارتباط دادن یک مسئله ی مشکل و سخت با یک مسئله ی مشابه امکان حل آن را برای شاگردان ساده تر می کند.(راهبرد حل مسئله ساده تر)

 (بر گرفته از مقاله ریاضی بیست)

جمع آوری مطلب توسط آموزگاران کلاس پنجم:سرکار خانم ابراهیم و سرکار خانم نوروزی